初中数学的实用进阶知识（一）

中考完一个多月了，三年里做数学题也收获了些比较好用的小结论，以后大概不会用到第二遍。一方面防止自己以后忘，一方面跟各位分享一下，就写这么一篇发出来吧。我数学比较菜，所以可能有些很常见的也放上来了。手机上打公式不是很方便，一些我觉得比较显然的就不去写证明了，比较出名的定理我也就光介绍介绍，麻烦一点的可能稍微写一下。

(资料图片仅供参考)

首先是平面几何部分。

1. 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理）

注意到当点P在圆O内时，幂为负值，这是由于我们采用了无向线段. 如果仅仅是证明等积式那我们都很熟悉用相似，而此处也可以向直线作垂线，使用勾股定理计算.

值得一提的是，平面内到给定不同心两圆的幂相等的点的集合为一条直线，称为两圆的根轴，而三圆两两之间的三条根轴一定平行、重合和共点，此定理称为根心定理（也称蒙日定理），所共的点为三圆根心.

2. 分角线定理

这个初中课内一般不常用，常用的是当AD为△ABC的角平分线（或外角平分线时），有AB/AC = BD/BC. 对于此图中求AD长也有斯图尔特定理，可自行搜索，在这里不再赘述. 但在AD为角平分线时，有AD = √(AB·AC - BD·BC). 我们这今年中考数学大题压轴就特别创新地考了这个角平分线长的证明，属实是有点水.

3. 阿波罗尼斯圆（阿氏圆）

这个求最值经常用，在这里简单说说.

实际应用大概就是求PA+k·PB的最小值或PA-k·PB的最大值了，下面放几道例题.

下面是一道稍难一些的.

上面这些都是只拿出了核心的部分，剥离了一些没有用处的线段。在实际应用时还需要根据具体情况找圆和线段。

4. 费马点问题

这个问题也是比较著名的了，资料比较多这里不再多说什么.

比较难一些的是加权费马点. 如果仅有一条线段带系数，那可以直接改变三角形旋转角度，比如上图若求TA+TB+√2TC，可将△ATC绕点C顺时针旋转90°至△A'T'C，可知TT'=√2TC. 若系数为√3可旋转120°，其他系数类似. 若系数有三个，则可以先提出一个系数转变为两个系数，再进行旋转和位似求解. 例如上图中若求3TA+4TB+5TC，可先转化为求4(3/4TA+TB+5/4TC)，然后将△ATC绕C顺时针旋转90°，然后以C为位似中心，3/4为位似比缩小至△A'T'C，则T'A'=3/4TA, TT'=5/4TC，可以在此基础上求解原题.

5. 胡不归问题

这个也是求解带系数线段最值的，不过相比阿氏圆，动点的轨迹是直线，并且系数k一定小于1. 在解题时注意在直线的异侧构造一个角，使得其正弦等于k即可，资料比较多我也不多说什么.

6. 瓜豆原理

这个我还是想说一说的. 感觉多数老师都只会取特殊点和一般情况判断轨迹，但没有意识到这个的本质. 事实上，主动点轨迹到从动点轨迹的变换，与主动点到从动点的变换是完全一致的. 例如主动点为P，将P绕O逆时针旋转60°，并以2为位似比放大得到Q，那么P的轨迹整体绕O逆时针旋转60°，并以2为位似比放大就会得到Q的轨迹. 这个命题在将P, Q的轨迹视作集合，将这样一个变换视作一一映射的视角下是显然的.

但是仅仅依靠上面这样找轨迹并不是多么好用. 一般来说，找特殊点是比较方便快捷的，直接将比较好刻画的位置进行变换，得到的必然在从动点轨迹上. 对于轨迹为圆的情况，圆心到圆心的变换与主动点到从动点的变换也是一致的，并且两圆半径比也等于位似比. 变换前后对应点也会满足类似的性质. 比如当轨迹为直线时，旋转位似中心O在一条轨迹上的射影A（过该点作该直线垂线的垂足），在变换后会得到O在另一条轨迹上的射影A'. 也就是说，先过O向主动点轨迹作垂线段OA，然后旋转位似之后得到OA'，那么过A'作OA'的垂线就是从动点轨迹，而且两直线夹角等于旋转角（这个有时候比较好用）. 这样作垂线段的方式在一些场合也会更加便利. 如果是坐标系的题，在走投无路的时候也可以求解析式. 最后，还需要注意主动点的范围，如果不是整条直线而是一部分线段，那么从动点轨迹也要当心.

7. 三角函数相关

比较推荐提前记住一些三角函数的公式，尤其是和差角、二倍角、半角这些在初中比较常用，这样很多结论就是比较显然的了. 比如下面的”12345”模型，当tanα=1/2, tanβ=1/3时，α+β=45°，且有tan2α=4/3, tan2β=3/4, tan(α+45°)=3, tan(β+45°)=2. 除了这些以外，余弦定理也一定要记住，在一些选填比较快，比如我们今年中考的填空压轴就能秒（虽然不用余弦定理也很简单）. 正弦定理倒是用处不算很大，毕竟初中你也用不到导正弦比之类的用三角法做证明题.

8. 四点共圆相关

这是一个好用的技巧，在导角或者线段比是很有用的.四点共圆的判定方法很多，由圆的定义（到定点的距离相等）；一条定线段在同侧张角相等，异侧互补（即定弦张角，尤其注意当角为直角时，线段中点即圆心）；上文提到的圆幂定理；托勒密定理的逆定理；等等. 知道四点共圆之后也可以直接用圆周角定理导角，或者用圆幂定理导线段比，或者托勒密定理. 有时候我们会做到这样的题：在等边三角形ABC外接圆P的弧BC上取一点P，则PA=PB+PC. 我们一般会用旋转来运用全等解决，其实设等边三角形边长为a后，对圆内接四边形ABPC用托勒密定理也可以. 如果是等腰直角三角形之类的也是类似的道理.

9. 有关比例线段的定理

塞瓦定理和梅涅劳斯定理算是比较常用的了，建议学习一下. 我个人感觉初中基本上只会用到边元形式，角元形式不大用. 共边比例定理我觉得也很好用，有时候线段比转化成面积就方便多了.

10. 一些常用的轨迹

定弦张角可以判断四点共圆，也可以判断出点的轨迹是一个圆（由于我们使用无向角，其实是两段对称的弧）. 在确定圆心是可通过圆心角定理，作出对应角为顶角的等腰三角形.

平面内到n个点距离的平方和为定值的点轨迹为一个圆，圆心的横纵坐标是各点横纵坐标的算术平均值. 特别是当n=2时，即平面内到两点距离平方和为定值的点轨迹为一个圆，圆心是两点所连线段的中点. 三个点对应三角形重心，但我觉得应该不会出到这么难的题，我就光做到过两个点的.

11. 米勒圆

你如果比较仔细可能发现我上面写的是”仅当”而不是当且仅当”，这是由于l上存在两个P使得△APB与l相切，且这两个点关于O对称. 只有AB与l所夹的较小角一侧才是张角取最大值. 当计算P的位置时，可以使用切割线定理，通过OP²=OA·OB计算.

12. 该建系就建系

当你不会做时，可以尝试一下这个. 如果多数线都是横平竖直，而且直接求不太容易，建系也不失为一个好方法.

不知不觉写了写就三千多字了，本来还想一篇文章全总结完的，这样也就只能大概说一说几何相关的了。有啥问题欢迎指正，有啥补充大家也可以在评论区说，有啥疑惑的也欢迎问我。

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